Одно из основных понятий современной алгебры. П. называется множество с определённой на нём операцией, подчинённой закону ассоциативности (См. Ассоциативность). Понятие П. есть обобщение понятия группы (См.

орф.

полугруппа, -ы

Множество с одной бинарной операцией, удовлетворяющей закону ассоциативности. Понятие П. есть обобщение понятия группы:из аксиом группы остается лишь одна — ассоциативность; этим объясняется и термин "П.".

1) Линейно упорядоченная полугруппа, все строго положительные (строго отрицательные) элементы к-рой

упорядоченный группоид) изоморфна нек-рой подполугруппе одной из следующих полугрупп: аддитивной

полугруппе всех неотрицательных действительных чисел, полугруппе всех действительных чисел интервала (0,1

с обычной упорядоченностью и операцией , полугруппе, состоящей из всех действительных чисел

тогда и только тогда, когда S — полугруппа с сокращением. Лит.:[1] Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы

То же, что моногенная полугруппа.

Преобразования полугрупп, удовлетворяющие специальным условиям: правым сдвигом полугруппы S наз

в ы й с д в и г полугруппы S — такое ее преобразование l, что для любых имеет место l( ху) =(lх

полугруппа )осуществляется справа налево. Произведение двух левых (правых) С. п. само будет левым

симметрич. полугруппы . Для произвольного элемента преобразование la(ra), заданное формулой

левый идеал в (правый идеал в Р(S)). Левый сдвиг lи правый сдвиг r полугруппы Sназ. с в я з а н н ы м

Полугруппа, каждый элемент к-рой регулярен. Произвольная Р. п. Sсодержит идемпотенты (см

ограничениями на множество E(S). Одно из таких ограничений (для полугрупп с нулем) состоит

в том, что все ненулевые идемпотенты примитивны (см. Вполне простая полугруппа);полугруппа с этим свойством

наз. п р и м и т и в н о й. Следующие условия для полугруппы Sэквивалентны: a) Sесть примитивная Р

в) Sесть 0 -прямое объединение вполне 0-простых полугрупп. Описано строение Р. п., у к-рых Е(S

Вполне регулярная полугрупп а,- полугруппа, каждый элемент к-рой является групповым, т. е

принадлежит нек-рой подгруппе. Элемент полугруппы будет групповым тогда и только тогда, когда он вполне

регулярен (см. Регулярный элемент). Свойство полугруппы Sбыть К. п. эквивалентно каждому из следующих: 1

при любом натуральном п. К. п. наряду с инверсными полугруппами представляют собой один из важнейших

типов регулярных полугрупп. Их изучение началось с основополагающей работы А. Клиффорда [1

Полугруппа, состоящая из эндоморфизмов нек-рого объекта (множества X, наделенного какой-либо

подобъекты) является подполугруппой полугруппы Т X всех преобразований множества X(см. Преобразований

полугруппа). Полугруппа End X может нести в себе значительную информацию о структуре Напр., если X, Y

векторные пространства размерности над телами Fи Нсоответственно, то из изоморфизма полугрупп End Xи

Этот же результат справедлив и для нек-рых модулей и полугрупп преобразований. Аналогичную информацию об объекте

Класс полугрупп, задаваемый системой тождеств (см. Алгебраических систем многообразие). Всякое П. м

будет либо периодическим, т. е. состоит из периодич. полугрупп, либо надкоммутативным, т.

Полугруппа Sс нулем, в к-рой каждому ненулевому элементу асоответствуют такие однозначно

для теории полугрупп определяется тем, что Б. п.- это в точности вполне 0-простые инверсные полугруппы

см. Вполне простая полугруппа). Полугруппа будет Б. п. тогда и только тогда, когда она изоморфна

рисовской полугруппе матричного типа с единичной сэндвич-матрицей над группой с присоединенным нулем

К., 1937; [5] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1-2, М., 1972. Л. Н. Шеврин.

Полугруппа с единицей и с двумя образующими заданная определяющим соотношением . Одна из реализаций

является инверсной полугруппой и как инверсная полугруппа моногенна, т. е. порождена одним элементом

Простая полугруппа). Б. п. нередко возникают в теоретико-полугрупповых исследованиях

не только как один из представителей нек-рых важных классов полугрупп, но и в качестве "блоков", определяющих

строение тех или иных полугрупп. Напр., для всякого идемпотента е0-простой, но не вполне 0-простой

Однопараметрически сильно непрерывная полугруппа T(t),, Т(0)=I, линейных операторов в банаховом

Частными видами С. п. являются полугруппы изометрий , унитарные полугруппы ( Т*(t)=T-1(t

самосопряженные полугруппы ( Т*(t)=T(t)), нормальные полугруппы ( Т*(t)T(t)=Т(t)T*(t)). Вместо генератора

о р). Оказывается, что полугруппа будет полугруппой изометрий, унитарной, самосопряженной, нормальной

полугруппой тогда и только тогда, когда когенератор соответственно будет изометрическим, унитарным

Над алфавитом А — полугруппа, элементами к-рой. являются всевозможные конечные последовательности

слова w;возникающая таким образом полугруппа с единицей наз. с в о б о д н ы м м о н о и д о м

с точностью до изоморфизма мощностью своего алфавита; эта мощность наз. рангом свободной полугруппы. С. п

в классе всех полугрупп. Следующие условия для полугруппы Fэквивалентны: 1) Fесть С. п.; 2) Fимеет

будет конечно определенной полугруппой, но существуют подполугруппы с четырьмя образующими, не являющиеся

Полугруппа, в к-рой для любого элемента асуществует единственный инверсный к нему элемент а -1 (см

Регулярный элемент). Свойство полугруппы Sбыть инверсной эквивалентно каждому из следующих: S

регулярная полугруппа и любые два ее идемпотента перестановочны (таким образом, множество

всех идемпотентов И. п. есть полурешетка, см. Идемпотентов полугруппа);каждый левый и каждый правый главные идеалы

полугруппы Sимеют единственный порождающий идемпотент. Всякая группа будет И. п., группы

Полугруппа, наделенная структурой (частичного, вообще говоря) порядка стабильного относительно

линейный порядок, то S наз. линейно упорядоченной полугруппой (л. у. п.). Если отношение на У. п

упорядоченной полугруппой (р. у. п.); тем самым класс всех р. у. п., рассматриваемых как алгебры

возникают при рассмотрении различных числовых полугрупп, полугрупп функций и бинарных отношений

полугрупп подмножеств (или подсистем различных алгебраич. систем, напр. идеалов колец и полугрупп

Полугруппа, в к-рой для любых элементов х, у из х 2=ху=у2. следует х=у. Если полугруппа Sобладает

полугрупп верно и обратное; более того, всякая коммутативная С. п. разложима в связку полугрупп

автоматически в полурешетку) с законом сокращения. Коммутативная полугруппа будет С. п

тогда и только тогда, когда она вложима в клиффордову полугруппу. Периодич. полугруппа будет С. п

тогда и только тогда, когда она клиффордова. Коммутативная полугруппа Sбудет С. п

к единичному оператору при (см. Полугруппа операторов). Важной характеристикой О. п. является

производящий оператор полугруппы. Основной проблематикой теории О. п. является установление связи

между свойствами полугрупп и их производящих операторов. Достаточно полно изучены О. п. линейных

Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., М., 1962; [4] Butzer P., Berens H

Ассоциативного кольца — полугруппа, образуемая всеми элементами данного ассоциативного кольца

Полугруппа Sс нулем, для к-рой существует такое п, что ; это эквивалентно выполнению в S тождества

Наименьшее для данной полугруппы число пс указанным свойством наз. ступенью (иногда классом

нильпотентности Н. п. Если , то Sназ. полугруппой с нулевым умножением. Следующие условия для полугруппы

из Sможет быть включена в идеальный ряд длины полугруппы S. Более широким является понятие нильпотентной

полугруппы в смысле Мальцева [2]. Так называется полугруппа, удовлетворяющая для нек-рого птождеству

Циклическая полугрупп а,- полугруппа, порожденная одним элементом. М. п., порожденная элементом

Если все эти степени различны, то изоморфна аддитивной полугруппе натуральных чисел. В противном случае

конечна, и тогда число ее элементов наз. порядком полугруппы , а также порядком элемента

число hс тем свойством, что при нек-ром ; число hназ. индексом элемента а(а также полугруппы

А). Если при этом d- наименьшее число с тем свойством, что , то dназ. периодом элемента а(полугруппы

Множество, наделенное алгебраич. структурой полугруппы и структурой хаусдорфова топологич

пространства, причем полугрупповая операция непрерывна в заданной топологии. Любая полугруппа становится Т

п., если рассматривать на ней дискретную топологию. Существуют полугруппы, допускающие лишь

направлений в теории Т. п.: общая теория компактных полугрупп (термин лкомпактность

Данного семейства — полугруппа S, обладающая разбиением на подполугруппы, классы к-рого суть

в точности полугруппы Sa, и для любых Sa,Sb существует Sg такая, что . В этом случае говорят также, что S

разложима в связку полугрупп Sa.. Другими словами, S есть С. п. Sa, если все Sa- подполугруппы в S

и существует конгруэнция r на S такая, что r-классы суть в точности Sa.. Полугруппы Sa наз. к о м п

" как синонима термина "полугруппа идемпонентов", так как конгруэнция r на полугруппе S определяет

В группу — мономорфизм полугруппы в группу. Полугруппа Sвкладывается в группу G, если Sизоморфна

полугруппы. Класс полугрупп, вложимых в группы, нельзя охарактеризовать конечным числом условных

Если S — полугруппа с сокращением и для любых элементов а, b полугруппы Sнайдутся элементы такие

что (условие Оре), то полугруппа Sвложима в группу. Если S — полугруппа с сокращением, в к-рой

из равенства всегда следует, что либо , либо для нек-рого элемента , то полугруппа Sвложима в группу [4