Однородный элемент коцепнои абелевои группы С* (или, в общем случае, модуля), т. е. градуированной абелевой группы, снабженной эндоморфизмом d степени +1, обладающим свойством dd=0 Эндоморфизм d наз. кограничным отображением, или кограницей.

пересечения множества Мс нек-рой s-мерной плоскостью. Если Xесть r-мерная бемольная коцепь в Л, то существует

и причем где — комасса коцепи X. Обратно, любой г-мерной Б. ф. в соответствует но формуле (1

единственная r-мерная бемольная коцепь для любого симплекса , удовлетворяющего вышеуказанному условию, причем

Форма и коцепь Xназ. ассоциированным и. Формы, ассоциированные с одной и той же коцепью

бемольными коцепями Xи классами эквивалентных измеримых ограниченных функций существует взаимно однозначное

Уитни. Каждой r-мерной диезной коцепи Xв Rсоответствует единственная r-мерная Д. ф. sX, для которой

к-рых Это соответствие является взаимно однозначным линейным отображением пространства коцепей

банаховым пространством. В частности, нульмерным диезным коцепям соответствуют диезные функции

являются r-векторы g, наделенному диезной нормой это соответствие определяется формулой: для любой коцепи

X, где wX есть r-мерная Д. ф., соответствующая коцепи X, и имеет место: gA( Е п)= , т. е. ковектору

Коцепь, аннулируемая кограничным отображением, другими словами, коцепь, обращающаяся в нуль

коцепи имеются различные варианты понятия К. Напр., К. в смысле Александрова — Чеха топологич

], с. 242, пример (с)); r-мерная диезная коцепь Х=ХА есть элемент пространства сопряженного

к она является бемольной коцепью, причем где |Х| — ко масса X, а диезная конорма определяется аналогично

бемольной норме | Х|b. Кограница dX диезной коцепи не обязана быть диезной ([1], с. 241, пример

а)), однако Константа Липшица коцепи Xопределяется следующим образом: где А — полиэдральные цепи

Для диезных коцепей эта верхняя грань конечна и Любая бемольная коцепь с конечной константой Липшица

Клеточного пространства Xтакого, что (n — 1)-остов Х n-1 является точкой х 0,-коцепь из значение

Sn есть n-мерная сфера) и, значит, элемент группы pn(Y). Таким образом возникает коцепь

более точным было бы обозначение ), к-рая и наз. различающей коцепью; коцепь dn(f, g).является препятствием

тогда и только тогда, когда гомотопия между fи gпродолжается на Xn;2) коцепь является коциклом; 3) класс когомологий

dn(f, g)+dn(g, h) =dn(f, h); 3) для любого отображения f : и любой коцепи ) существует такое

наибольшую из полунорм удовлетворяющую для любой клетки неравенствам: г-мерная бемольная коцепь X

мерной бемольной коцепи Xопределяется стандартным образом: так что причем Для кограницы бемольной

коцепи (определяемой условием: так что Аналогичные понятия вводятся для полиэдральных r-мерных цепей

Диезная норма )дают одно и то же значение массы. 3) К о м а с с а (бемольной, в частности диезной) коцепи

Xопределяется стандартным образом: где А — полиэдральная цепь, — значение коцепи Xна цепи А. Лит. см. при ст. Бемольная норма. М. И. Войцеховский.

а — свободная абелева группа. Для 1-коциклов П. к. определен формулой где — такая коцепь с коэффициентами

комплекса цепей X, состоящим из всех коцепей с носителями в , в то время как фактор-комплекс обычно

абелевой группой. Для определения коцепей рассматриваются такие кососимметрические функции f(x0, х 1

как только все х i принадлежат U, и за коцепь принимается класс эквивалентных функций. Кограница коцепи

определяется как класс кограниц входящих в эту коцепь функций. Коцикл есть коцепь с r с нулевой кограницей

соответственно гомологии) бесконечных коцепей (соответственно конечных цепей) произвольного клеточного

здесь обозначен наименьший подкомплекс цепного комплекса содержащий элемент Пусть Любым двум коцепям ставится

в соответствие формулой для любого симплекса коцепь наз. их -произведением. Для кограницы

этой коцепи имеет место формула из к-рой следует, что формула корректно определяет нек-рый гомоморфизм к-рый

эти клетки образуют базис группы С п(X), тем самым определена n-мерная коцепь из Эта коцепь является

для решения конкретных задач. Напр., когомологии Александрова — Чеха можно определить с помощью коцепей

получающихся из коцепей специально подобранной системы открытых покрытий переходом к прямому пределу

Эти коцепи оказываются сечениями пучков ростков коцепей (определяемых аналогично пучкам ростков

для алгебраич. многообразий). Сечениями пучков резольвенты оказываются и коцепи Алек-сандера

когомологии отождествление коцепей, совпадающих друг с другом на сингулярных симплексах мелкости

компактных . Сингулярные когомологии определяются дуальным образом. Комплекс коцепей S*(X; G).определяется

коцепи — это функции x, определенные на сингулярных симплексах и принимающие значения в G, а пограничный

из всех коцепей, обращающихся в нуль на сингулярных симплексах из А. Имеет место точная

возникает коцепь Так как для , очевидно, , то на самом деле Очевидно, тогда и только тогда, когда f

продолжается на Х n+1, т. е. коцепь является препятствием к продолжению f на Х п + 1. Коцепь является

мерной коцепью покрытия наз. отображение f, к-рое всякому упорядоченному набору такому

что сопоставляет сечение fi0...in пучка Fнад Ui0...in . Множество всех re-мерных коцепей является абелевой

его подкомплексом, состоящим из альтернированных коцепей, т. е. коцепей, меняющих знак при перестановке

коцепей класса См. также групп, Эквиеариаптные когомологии. Лит.:[1]Гротендик А., О некоторых вопросах

группа) E(p, п), симплексами размерности qк-рого являются re-мерные коцепи q-мерного геометрического

гомоморфизмы групп коцепей являются, по определению, операторами граней и вырождения С. м. Е(p, п

относительно его, стандартной триангуляции) и пусть — группа его n-мерных коцепей над абслевой группой

точнее, группа нормализованных n-мерных коцепей симплициального множества ). Пусть — симплициальное

множество, в к-ром симплексами размерности qявляются коцепи из , а операторы грани и вырождения

симплициального множества над группой в группе коцепей этого множества над группой определен кограничный

симплекс . Сопоставление этой грани элемента приводит к некоторой -мерной коцепи

дифференциальной формы. Точнее, комплекс де Рама есть подкомплекс в состоящий из коцепей, линейных над F(M

], [14]). Алгебра когомологии редуктивной алгебры Ли естественно изоморфна алгебре коцепей

коцепей [10]. С другой стороны, пусть — алгебра Ли односвязной разрешимой группы Ли G, Г — решетка в Gи

предельного коцепного комплекса, что дает возможность оперировать пучками коцепей. Аналогичные идеи

При их определении исходной является опять же группа цепей, называемая в этом случае группой коцепей

Аналогично строится теория когомологии. Группа С r( К, L; G)r-мерных бесконечных коцепей К. Кпо модулю

подкомплекса Lнад Gявляется множеством всех таких r-мерных коцепей с r К. К, к-рые равны нулю

последовательность порожденная вложениями В классе когомологии произвольный коцикл распространяется до коцепи

произвольно, когда tr не принадлежит подкомплексу LК. К. Кограница drzr1 получающейся коцепи равна

то можно рассмотреть когомологии группы Gс коэффициентами в А, вычисляемые в терминах непрерывных коцепей [5

Alexander) независимо было дано построение групп когомологии, основанное на коцепях, являющихся функциями

форм над коцепями с инволюцией были получены глубокие результаты методами функционального анализа

а за коцепи берутся непрерывные отображения. Для неабелевой группы Мсодержательно определяются

трудностями, и часто приходится задавать классы когомологии другими способами, напр., с помощью коцепей

мерной коцепи Gr комплекса Кнад группой X* коэффициентов, двойственной Xв смысле теории характеров

значения из дискретной или компактной группы Xкоэффициентов (п- р)-мерную коцепь с n-p клеточного

К. Аналогичная конструкция, в которой исходят не из цепей, а из коцепей (произвольных функций